| 21681190 23552 13350 920 1 в одной плоскости, сходятся в одной точке, то соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в точках, лежащих на одной прямой. Обратная теорема Дезарга двойственна прямой теореме по принципу двойственности. Интересно, что эту теорему нельзя доказать лишь на основе аксиом инцидентности проективной плоскости, однако она справедлива на любой проективной плоскости, к-рая лежит в проективном пространстве,- такова, например, действительная проективная плоскость. Первый пример недезарговой проективной плоскости дал Д. Гильберт.
Выполнение теоремы Дезарга необходимо и достаточно для введения координат на проективной плоскости синтетическим путём. Это делается с помощью т. н. исчисления вурфов; оно состоит в том, что на проективной прямой вводятся операции сложения и умножения точек, превращающие её в тело k, Построение осуществляется с помощью полных четырёхвершинников - плоских фигур, составленных четырьмя точками, из к-рых никакие три не лежат на одной прямой (рис. 5), и шестью прямыми, соединяющими попарно эти точки; такая конфигурация позволяет определить чисто проективно понятие гармонической четвёрки точек. Двойственным образом с использованием полных четырёхсторонников устанавливаются операции сложения и умножения в пучке прямых.
Свойства проективной прямой, как алгебраической системы, определяются, с одной стороны, геометрич. свойствами проективной плоскости, в к-рой она расположена. Так, напр., коммутативность тела равносильна выполнению т. н. аксиомы Паппа: если l и l' - две различные прямые, А, В, С и А', В', С'- тройки различных точек прямых l и l' соответственно, то точки пересечения прямых АВ' и А'В, АС' и A'С, ВС' и В'С лежат на одной прямой; тело k имеет отличную от двух характеристику тогда и только тогда, когда диагональные точки Р, Q, R полного четырёхвершинника ABCD не лежат на одной прямой [Р, О. R определяются как точки пересечения прямых АВ и CD, AC и BD, AD и ВС соответственно (рис. 5)]. С др. стороны, в зависимости от выбора исходного тела k определяются различные проективные плоскости Пk как совокупности классов пропорциональных троек элементов тела k [за исключением тройки (0, 0, 0)]. Такой аналитический подход наряду с синтетическим с успехом применяется для изучения проективных свойств кривых и поверхностей. Аналогичные построения можно провести и для проективного пространства.
Линией второго порядка на проективной плоскости наз. объект, определяемый с точностью до множителя пропорциональности классом однородных уравнений второй степени:
а11 (х1)2 + а22 (х2)2 + а33 (х3)2+ + 2а12х1х2 + 2а23х2х3+ 2а31x3x1 = 0. Всякая нераспадающаяся линия второго порядка на действительной проективной плоскости (овальная линия) есть либо эллипс, либо гипербола, дополненная несобственными точками её асимптот, либо парабола, дополненная несобственной точкой её диаметров. Распадающаяся линия второго порядка состоит из двух прямых (различных или совпадающих) или одной точки. Наконец, возможна нераспадающаяся линия второго порядка, не содержащая действительных точек. Этим исчерпывается проективная классификация всех линий второго порядка. Фигурой, двойственной линии второго порядка, является пучок прямых второго класса - объект, определяемый классом пропорциональных однородных уравнений второй степени в координатах (и1, и2 , и3). Огибающая невырожденного пучка прямых есть линия второго порядка.
Если на проективной плоскости заданы пять точек, из к-рых никакие четыре не лежат на одной прямой, то существует и притом только одна линия второго порядка, проходящая через эти точки. Точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в линию второго порядка, лежат на одной прямой (теорема Паскаля) (рис. 6). В случае распадающейся линии второго порядка эта теорема сводится к утверждению, формулируемому аксиомой Паппа. Двойственной теореме Паскаля является теорема Брианшона: диагонали, соединяющие противоположные стороны шестисторонника, описанного около овальной линии второго порядка, проходят через одну точку (рис. 7). См. также Полюсы и поляры. Основы П. г. были заложены в 17 в. Ж. Дезаргом (в связи с развитием им учения о перспективе) и Б. Паскалем (в связи с изучением им нек-рых свойств конич. сечений). Большое значение для последующего развития П. г. имели работы Г. Монжа (2-я пол. 18 - нач. 19 вв.). Как самостоятельная дисциплина П. г. была изложена Ж. Понселе (нач. 19 в.). Заслуга Понселе заключалась в выделении проективных свойств фигур в отд. класс и установлении соответствий между метрическими и проективными свойствами этих фигур. К этому же периоду относятся работы франц. математика Ж. Брианшона. Дальнейшее развитие П. г. получила в трудах швейц. математика Я. Штейнера и франц. математика М. Шаля. Большую роль в развитии П. г. сыграли работы нем. математика К. Штаудта. Его работами были намечены также контуры аксиоматич. построения П. г. Все эти геометры стремились доказывать теоремы П. г. синтетич. методом, положив в основу изложения проективные свойства фигур. Аналитич. направление в П. г. было намечено работами А. Мёбиуса. Влияние на развитие П. г. оказали работы Н. И. Лобачевского по созданию неевклидовой геометрии, позволившие в дальнейшем А. Кэли и Ф. Клейну рассмотреть различные геометрич. системы с точки зрения П. г. Развитие аналитич. методов обычной П. г. и построение на этой базе комплексной П. г. (нем. математик Э. Штуди, Э. Картон) поставили задачу о зависимости тех или иных проективных свойств от того тела, над к-рым построена геометрия. В решении этого вопроса больших успехов добились А. Н. Колмогоров и Л. С. Понтрягин.
Нек-рые положения и факты П. г. применяются в номографии, в теории статистич. решений, в квантовой теории поля и в конструировании печатных схем (через теорию графов).
Лит.: Вольберг О. А., Основные идеи проективной геометрии, 3 изд., М.- Л., 1949; Глаголев Н. А., Проективная геометрия, 2 изд., М., 1963; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971; Xартсхорн Р., Основы проективной геометрии, пер. с англ., М., 1970; Veblen О., Young J. W., Projective geometry, v. 1 - 2, Boston - N. Y., 1910 - 18.
По материалам одноимённой статьи из 2-го издания БСЭ.
ПРОЕКТИВНАЯ МЕТРИКА, способ измерения длин и углов средствами проективной геометрии. Он состоит в закреплении нек-рой фигуры в качестве абсолюта, определяющего данную метрическую геометрию, и выделении из группы всех проективных преобразований таких, к-рые отображают абсолют в себя и порождают т. о. соответствующую группу движений. Напр., метрика плоскости Лобачевского получается, если за абсолют принять нераспадающуюся действительную линию второго порядка,- тогда длина отрезка АВ равна л ln (ABPQ), где Р и О - точки пересечения прямой АВ с абсолютом, (ABPQ)- двойное отношение, л - константа, одинаковая для всех отрезков. Если для измерения длин и углов используется линия второго порядка без действительных точек, то получается (эллиптическая) геометрия Римана. Для построения евклидовой и псевдоевклидовой геометрий выбирают вырожденные линии второго порядка.
Лит. : Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971; Клейн Ф., Неевклидова геометрия, пер. с нем., М.- Л., 1936.
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ, в первоначальном смысле - евклидова плоскость, дополненная бесконечно удалёнными точками и бесконечно удалённой прямой (см. Проективная геометрия). С топологической точки зрения П. п. является замкнутой неориентируемой поверхностью, эйлерова характеристика к-рой равна 1.
ПРОЕКТИВНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, взаимнооднозначное отображение проективной плоскости или проективного пространства в себя, при к-ром точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие на прямой (поэтому П. п. иногда наз. коллинеацией). П. п. проективной прямой наз. взаимно однозначное отображение её в себя, при к-ром сохраняется гармоническое расположение точек этой прямой. Простейшим и вместе с тем наиболее важным для приложений примером П. п. является гомология - П. п., оставляющее на месте прямую и точку вне её. Примером П. п. пространства является перспектива, т. е. проектирование фигуры F, лежащей в плоскости П, из точки S в фигуру F', расположенную в плоскости П'; любое П. п. получается конечной последовательностью перспектив. П. п. образуют группу, осн. инвариантом к-рой является двойное отношение четырёх точек прямой. Теории инвариантов групп П. п., оставляющих на месте нек-рую фигуру, представляют собой метрические геометрии (см. Проективная метрика).
Осн. теорема о П. п. проективной плоскости состоит в том, что каковы бы ни были четыре точки А, В, С, D плоскости П, из к-рых никакие три не лежат на одной прямой, и четыре точки А', В', С', D' той же плоскости, из к-рых никакие три также не лежат на одной прямой, существует и притом только одно П. п., к-рое точки А, В, С, D переводит соответственно в точки А', В',С', D' . Эта теорема применяется в номографии и аэрофотосъёмке. Аналогичная теорема имеет место и в проективном пространстве: там П. п. определяется пятью точками, из к-рых никакие четыре не лежат в одной плоскости. Эта теорема эквивалентна аксиоме Паппа.
В однородных координатах П. п. выражается однородным линейным преобразованием, определитель матрицы к-рого не равен нулю. Рассматриваются также П. п. евклидовой плоскости или пространства; в декартовых координатах они выражаются дробно-линейными функциями, причём свойство взаимной однозначности утрачивается.
Лит. см. при ст. Проективная геометрия.
ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО, в первоначальном смысле - евклидово пространство, дополненное бесконечно удалёнными точками, прямыми и плоскостью, наз. также несобственными элементами (см. Бесконечно удалённые элементы). При этом каждая прямая дополняется одной несобственной точкой, каждая плоскость - одной несобственной прямой, всё пространство - одной несобственной плоскостью; параллельные прямые дополняются общей несобственной точкой, непараллельные - разными; параллельные плоскости дополняются общей несобственной прямой, непараллельные - разными; несобственные точки, дополняющие всевозможные прямые данной плоскости, принадлежат несобственной прямой, дополняющей ту же плоскость; все несобственные точки и прямые принадлежат несобственной плоскости.
П. п. можно определить аналитически как совокупность классов пропорциональных четвёрок действительных чисел, не равных одновременно нулю. При этом классы интерпретируются либо как точки П. п., и тогда числа четвёрок наз. однородными координатами точек, либо как плоскости П. п., а числа наз. однородными координатами плоскостей. Отношение инцидентности точки (x1:x2:x3:x4) и плоскости (u1:u2:u3:u4) выражается равенством: сумма 4i=1 uixi=0 Аналогичным образом вводится понятие n-мерного П. п., играющего важную роль в алгебраической геометрии, причём координатами его могут быть элементы нек-рого тела k. В более общем смысле П. п.- совокупность трёх множеств элементов, наз. соответственно точками, прямыми и плоскостями, для к-рых определены отношения принадлежности и порядка так, что соблюдаются требования аксиом проективной геометрии. А. Н. Колмогоров и Л. С. Понтрягин показали, что если П. п. над телом k есть связное компактное топологическое пространство, в к-ром прямая непрерывно зависит от двух принадлежащих ей точек, и выполняются аксиомы инцидентности, то k есть либо поле действительных чисел, либо поле комплексных чисел, либо тело кватернионов.
Лит. см. при ст. Проективная геометрия.
ПРОЕКТИР НАПРАВЛЕНИЯ (от лат. projectus - брошенный или вытянутый вперёд), оптич. прибор в виде вертикальной зрительной трубы, применяемый в маркшейдерском деле для передачи дирекционного угла (направления) с земной поверхности на ориентируемый горизонт в подземной горной выработке. В основу конструкции П. н. положен принцип двойного изображения, используемый в оптич. дальномерах', двойное изображение достигается при помощи оптич. клина или бипризмы, закрепляемых в насадке, надеваемой на зрительную трубу. Оптич. ориентирование, выполняемое при помощи П. н., сопровождается ошибками от рефракции воздуха в стволе шахты, поэтому существующие приборы обеспечивают необходимую точность ориентирования на глуб. до 300 м. Оптич. ориентирование с помощью П. н. вытесняется гироскопич. ориентированием.
ПРОЕКТИРОВАНИЕ (от лат. projectus, буквально - брошенный вперёд), процесс создания проекта - прототипа, прообраза предполагаемого или возможного объекта, состояния.
Различают этапы и стадии П., характеризующиеся определённой спецификой. Предметная область П. постоянно расширяется. Наряду с традиционными видами П. (архитектурно-строительным, машиностроительным, технологическим и др.) начали складываться самостоят. направления П. человеко-машинных систем (решающих, познающих, эвристических, прогнозирующих, планирующих, управляющих и т. п.) (см. Система "человек и машина"), трудовых процессов, организаций, экологическое, социальное, инженерно-психологич., генетическое П. и др. Наряду с дифференциацией П. идёт процесс его интеграции на основе выявления общих закономерностей и методов проектной деятельности.
Н. И. Ляхов.
П. в строительстве, технике - разработка проектной, конструкторской и др. технич. документации, предназначенной для осуществления капитального стр-ва (к.-л. объекта), создания новых видов и образцов продукции пром-сти.
В процессе П. выполняются технич. и экономич. расчёты, схемы, графики, пояснит. записки, макеты, составляются спецификации, сметы, калькуляции и описания.
Проект - комплект указанной документации и материалов (определённого состава). Проект к.-л. объекта капитального стр-ва (предприятия, здания, сооружения) может быть индивидуальным или типовым. При разработке индивидуальных проектов широко применяются типовые проекты конструкций, архит. и монтажных деталей и типовые проектные решения.
П. новых видов и образцов машин, оборудования, аппаратов, приборов и др. продукции всех отраслей пром-сти, или конструирование, представляет собой разработку исходных данных (чертежей, спецификаций, технич. условий по монтажу, наладке, уходу и др. конструкторской документации), необходимых для произ-ва и последующей эксплуатации продукции. При этом широко используются нормализованные детали, унифицированные узлы, агрегаты.
В СССР порядок разработки (стадийность), рассмотрения (экспертизы) и утверждения проектов определён постановлениями пр-ва, соответствующими ГОСТами и др. нормативными документами.
П. осуществляется гос. проектными орг-циями, которые подразделяются на отраслевые и специализированные. Отраслевая проектная орг-ция, разрабатывающая технологич. часть проекта, как правило, является ген. проектировщиком, привлекающим в случае необходимости специализированные (субподрядные) проектные орг-ции для выполнения отд. частей проекта. Задание на П., в к-ром указываются наименование объекта, место стр-ва, номенклатура продукции, мощность произ-ва и др. данные и условия стр-ва, составляется заказчиком (мин-вом, ведомством, предприятием) с участием проектной орг-ции. Для получения данных, необходимых для технически правильного и экономически целесообразного решения осн. вопросов П., стр-ва и эксплуатации объектов, осуществляются инженерные изыскания. Проект на стр-во, реконструкцию предприятия, здания, сооружения может выполняться в две стадии - технич. проект и рабочие чертежи или в одну стадию - техно-рабочий проект. На стадии технич. проекта разрабатываются осн. вопросы организации, технологии и экономики произ-ва, принимаются архит. и конструктивные решения по зданиям и сооружениям, составляется смета на стр-во и определяются технико-экономич. показатели. При разработке рабочих чертежей производятся уточнения и детализация предусмотренных технич. проектом решений в той степени, в к-рой это необходимо для произ-ва строит. и монтажных работ. Техно-рабочие проекты выполняются для объектов, стр-во к-рых намечается осуществлять по типовым проектам, а также для технически несложных объектов; в них решаются те же вопросы, что и при двухстадийном П. Порядок экспертизы и утверждения проектов зависит от сметной стоимости проектируемых объектов.
Стадии конструирования - проектное задание или эскизный проект, технич. проект, рабочий проект. Стадийность разработки новых видов и образцов продукции пром-сти, а также состав конструкторской документации указываются в технич. задании, составляемом разработчиком (мин-вом, ведомством, предприятием и пр.) на основе достижений науки и техники, потребностей в этой продукции нар. х-ва, населения, экспорта. Технич. задание утверждается заказчиком (осн. потребителем продукции). Чертежи и др. конструкторская документация на продукцию пром-сти, включая строит. конструкции, как правило, выполняются проектно-конструкторскими организациями (бюро) предприятий-изготовителей. При разработке новых видов и образцов пром. продукции производятся н.-и. и опытные работы, связанные с проверкой отд. технич. решений.
При П. целесообразно широко использовать средства оргтехники и ЭВМ, что позволяет сократить сроки и улучшить качество П., повысить производительность труда проектировщиков и конструкторов .
Всесоюзное совещание работников проектных и изыскательских орг-ции (май 1974) приняло рекомендации, направленные на дальнейшее совершенствование проектно-сметного дела, обратив особое внимание на необходимость разработки технико-экономич. обоснований (ТЭО) П. и строительства производств. объектов.
В связи с этим предусматривается переход в основном на одностадийное П.
П. в зарубежных социалист и ч. странах ведётся с учётом сов. опыта, особенно в части организации и планирования проектных работ, регламентации стадийности, порядка экспертизы и утверждения проектов, типового П. Применяется двух- и трёхстадийное П., при этом большое внимание уделяется предпроектной проработке. К выполнению рабочих чертежей во мн. случаях приступают до того, как завершена вторая стадия П.
П. в развитых капиталистич. странах осуществляется гл. обр. частными фирмами и отд. архитекторами (инженерами). Стадийность П., как правило, не регламентирована, сроки выполнения проектов определяются по соглашению заказчика с исполнителем. На первой стадии П.- "стадии анализа" определяются ассортимент и объём продукции, технология произ-ва, общие экономич. показатели проектируемого предприятия (сооружения, здания), выявляются рынки сбыта готовой продукции, намечаются технич. решения зданий и сооружений. На второй стадии П. разрабатывается "эскизный" или "предварительный" проект, в к-ром конкретизируются намеченные решения до степени, позволяющей определить стоимость стр-ва. Часто выполнение проекта или его частей ведётся на конкурсных началах, объявляются торги. Фирма, получившая в результате торгов право на стр-во, заключает контракт и дорабатывает проект (составляет рабочие чертежи) своими силами или приглашает для этого проектную фирму.
П. является важнейшим звеном технич. прогресса, связывающим науку с произ-вом. В проектах непосредственно реализуются результаты науч. исследований, используются достижения передовой техники. От качества П. в значит. мере зависят темпы технич. прогресса. В целях его ускорения разработка проектов в СССР осуществляется в соответствии с осн. технич. направлениями П., определяемыми отраслевыми мин-вами (ведомствами), исходя из перспектив развития науки и техники. В проектах предприятий, сооружений должны предусматриваться прогрессивные технологич. процессы, высокопроизводит. оборудование, наиболее совершенные средства механизации, автоматизированные системы управления, новые эффективные строит. материалы и облегчённые конструкции. Особое внимание следует уделять правильному определению сметной стоимости стр-ва. Разработка новых видов пром. продукции ведётся в соответствии с научно обоснованными прогнозами, исходит из необходимости снижения её материалоёмкости и трудоёмкости, обеспечения долговечности и надёжности. Новые виды машин, оборудования и пр. должны отвечать требованиям, предъявляемым к продукции высшей категории качества.
Дальнейшее повышение технич. уровня проектов и сокращение сроков их разработки способствуют быстрейшему вводу в действие новых производств. мощностей, созданию качественно новых орудий труда и материалов, повышению производительности труда и эффективности обществ. произ-ва.
Лит.: Материалы XXIV съезда КПСС, М., 1971; Об улучшении проектно-сметного дела..
Пост. ЦК КПСС и Совета Министров СССР, "Правда", 1969, 22 июня; Госстрой СССР. Временная инструкция по разработке проектов и смет для промышленного строительства СН 202-69, М., 1969; Гировский В. Ф., Разу М. Л., Алавердов Р. А., Экономика, организация и планирование проектных работ, М., 1972; Экономика строительства, под ред. П. Д. Подшиваленко, М., 1973; Разработка и постановка продукции на производство. Основные положения. ГОСТ 15001-73, М., 1974; Барташев Л. В., Технико-экономические расчеты при проектировании и производстве машин, 2 изд., М., 1968; Сергеев Н. Д., Богатырев А. И., Проблемы оптимального проектирования конструкций, Л., 1971; Орлов П. И., Основы конструирования, кн. 2, М., 1972; Когут А. Е., Новожилов В. И., Выбор экономичных параметров машин при конструировании, Л., 1974.
Л. Л. Кеслер.
Автоматизация П.- применение ЭВМ, общего и спец. математического обеспечения, средств автоматики и оргтехники, организованных в систему класса "человек и машина" (в автоматизированную систему проектирования - АСП), для П. машин, судов, систем управления, сооружений, пром. и вычислит. комплексов и т. п. В отличие от ручного П., результаты к-рого во многом определяются инж. подготовкой конструкторов (проектировщиков), их производств. опытом, проф. интуицией и т. п., автоматизированное П. позволяет исключить субъективизм при принятии решений, значительно повысить точность расчётов, выбирать варианты для реализации на основе строгого матем. анализа всех или большинства вариантов проекта с оценкой технич., технологич. и экономич. характеристик произ-ва и эксплуатации проектируемого объекта, значительно повысить качество конструкторской документации (КД), существенно сократить сроки П. и передачи КД в производство, эффективнее использовать технологич. оборудование с программным управлением. Автоматизация П. способствует более полному использованию унифицированных изделий в качестве стандартных компонентов проектируемого объекта.
Методы и средства автоматизации П. различны и зависят от характера и назначения проектируемого объекта. Наиболее ощутимые результаты получают при автоматизации П. сложных технич. систем и сооружений, а также при подготовке КД для программно-управляемого исполнит. оборудования (ПУИО). Так, напр., при П. ЭВМ с помощью АСП определяют структуру машины, технич. параметры входящих в её состав устройств, их структурное и функциональное построение, рассчитывают электрич. и монтажные схемы блоков и элементов и оптимизируют режимы их работы, производят расчёты на надёжность и т. п. Посредством графопостроителей, печатающих устройств и др. устройств вывода данных результаты П. автоматически представляются в виде КД на листах бумаги чертёжных форматов, на перфокартах, магнитной ленте, микрофильмах и микрофишах либо в виде схемы, чертежа изделия (сооружения) или графика (таблицы) на экране отображения информации устройства.
|
